VIDA Y OBRA DE CAUCHY

"La mente humana posee una gran inercia"

 

 

                                   

Cauchy fue un matemático francés que nació en París, el 21 de agosto de 1789. Era el mayor de los seis hijos de un abogado católico y realista, que hubo de retirarse a Arcueil cuando estalló la Revolución. Allí sobrevivieron de forma precaria, por lo que Cauchy creció desnutrido y débil.

Fue educado en casa por su padre y no ingresó en la escuela hasta los trece años, aunque pronto empezó a ganar premios académicos. A los dieciséis entró en la École Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuela de ingeniería civil, donde se graduó tres años después.

Su padre, importante personaje del Senado, quiso que tuviera una buena formación humanística, por lo que cursó estudios de composición literaria, griego y latín. Después, a partir de los quince años, y por recomendación de dos de los grandes matemáticos de la época, Laplace y Lagrange, se matriculó en la Escuela Politécnica y se diplomó como ingeniero de caminos. Cauchy era un hombre profundamente religioso: consideraba que la labor principal de un científico era la búsqueda de lo absoluto, de la verdad. Además, en política, era un monárquico conservador que hacía gala de una firme adhesión a los Borbones. Todo ello le supuso algunos quebrantos y, durante años, vivió un exilio voluntario, primero en Suiza y después en Turín y Praga. Más tarde, ya de vuelta en París, recibió los honores de Napoleón III y, nombrado profesor de Astronomía en la Sorbona, permaneció dedicado a la docencia hasta su muerte.

Su primer trabajo fue como ingeniero militar para Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo y participar en la invasión a Inglaterra. A los veinticuatro años volvió a París y dos más tarde demostró una conjetura de Fermat que había superado a Euler y Gauss, ocupando diversos puestos en la Facultad de Ciencias, El Colegio de Francia y La Escuela Politécnica.

En 1814 publicó la memoria  de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Dio al cálculo diferencial la forma que tiene hoy. Fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática

Teorema (integral) de Cauchy: Sea f una función analítica en un conjunto abierto Ω contiene a un contorno γ, junto con su dominio interior. Entonces ∫f(z) dz=0

Fórmula integral de Cauchy: Sea Ω un conjunto abierto y γ un contorno contenido dentro de Ω, junto con su dominio interior. Sea f una función de la forma  f(z) = g(z)                                                                                                                             donde  g  es analítica en Ω y a es

               z - a                                                                                                       un punto en el interior del contorno γ.              

Teorema de Cauchy del Valor Medio.

 

Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas. En 1823, Cauchy publicó sus Lecciones sobre el cálculo infinitesimal, donde unas apropiadas definiciones de función, continuidad y, sobre todo, de límite1 le permiten asentar el análisis sobre unas bases más aritméticas que geométricas y más firmes que las de sus antecesores. Un infinitésimo, lo que hasta entonces se consideraba un número constante infinitamente pequeño, pasa a verse como una variable2. En cuanto a su conocida definición de continuidad en un punto, permanece hoy, con pequeñas variaciones, tal y como él la concibió. Por otra parte, la integración, en lugar de tratarla como la operación inversa de la diferenciación, la plantea como límite de una cierta suma, lo que supone un giro respecto al trabajo en este campo durante el siglo XVII, a la par que una vuelta a posiciones anteriores al mismo. Por último, es fundamental la aportación de Cauchy a la teoría de funciones de variable compleja, donde culmina el trabajo de sus predecesores en este campo, Euler.

Además de los temas citados, los trabajos de Cauchy abarcan también los determinantes, los números complejos, la teoría de números y otras cuestiones. Su inmensa obra, editada en Francia, ocupa veintisiete volúmenes, sin contar los libros dedicados a la enseñanza y los múltiples artículos. Probablemente, solo Euler le supera en este aspecto. A diferencia de otros matemáticos que no tenían demasiada preocupación por los aspectos pedagógicos de su obra, y tampoco publicaban todo lo que escondían sus cajones, Cauchy era un asiduo de las revistas científicas de la época y en sus exposiciones estaba siempre presente un afán didáctico. También impartió conferencias en algunas ciudades europeas, entre ellas, alguna española. A menudo se le compara con Gauss, al ser los dos grandes matemáticos de la primera mitad del siglo XIX, si bien podría decirse, usando el lenguaje actual, que aún sin tener la primacía, Cauchy supo vender mejor su producto que Gauss.

Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas. Empezando con su Analyse Algébrique de 1822, que lo escribió como texto de sus alumnos de la École Polytechnique. Con Cauchy se precisan los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangentes.
Comienza a estudiar la aritmética modular en 1826. En 1829, en Leçons sur le Calcul Différentiel define por primera vez el concepto de función compleja de variable compleja.
Cauchy vuelve a tomar el concepto tradicional de integral, como suma y no como operación inversa. También introdujo el rigor en el tratamiento de las series fijando criterios de convergencia y eliminando, algo a pesar suyo, las series divergentes. Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: el teorema integral de Cauchy, en la teoría de las funciones complejas, el teorema de existencia de Cauchy-Kovalevskaya para la solución de ecuaciones en derivadas parciales, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y las sucesiones de Cauchy.
Cauchy no tuvo buenas relaciones con otros científicos. Se situó a favor de los jesuitas en contra de la opinión de l'Académie des Sciences. Criticó el trabajo de Poncelet sobre geometría projectiva, en 1820, sin dar razón científica alguna. Su trato con Abel y Galois tampoco fue afortunado. Cuando Abel murió el 6 de Abril de 1829, Cauchy todavía no había dado su informe sobre el excelente trabajo de Abel presentado en 1826. Cauchy, produjo 789 escritos, pero fue desaprobado por la mayoría de sus colegas.
En 1833 se trasladó a Praga para acompañar a Carlos X  y ser el tutor de su hijo. Retornó a París en 1838 y retomó su cargo en la academia pero no su posición de profesor por haber rechazado tomar el juramento de lealtad. Cuando Louis Philippe fue destronado en 1848, retomó su cátedra en Sorbonne. 

Cauchy es considerado, después de Euler, el matemático más prolífico de todos los tiempos. Su mente y sus contribuciones en diferentes campos de las matemáticas puras y aplicadas: la teoría de funciones de variable compleja, la teoría matemática de la elasticidad, resultados en la teoría de la luz de la mecánica, etc. Por ejemplo, en 1831 ofreció el teorema que establece que toda función analítica en una variable compleja w = f(z) , puede desarrollarse en serie de potencias en un punto ; la serie converge en todos los valores de que pertenecen a un círculo abierto con centro y tal que su circunferencia pasa por el punto singular para más cercano a . Las series se convirtieron en una dimensión decisiva de las funciones de variables tanto reales como complejas.

Una de sus contribuciones más importantes se dio en la potenciación del rigor en las matemáticas. Cauchy, al igual que Abel y Bolzano, buscó corregir las debilidades de un desarrollo matemático durante todo el siglo XVIII que puso su énfasis en la experimentación, la aplicación, la intuición, y no en los criterios lógicos y aquellos más bien asociados a la geometría clásica. Cauchy revisó cuidadosamente el concepto de función de una variable real. Y ofreció un fundamento al cálculo casi como el que encontramos hoy en los textos de matemáticas. Cauchy retomó el concepto de límite introducido por d’Alembert  para definir la derivada de una función.

Cauchy usó la notación de Lagrange con un enfoque analítico y no algebraico. Brindó especial atención a la convergencia de las series. Es decir, buscó pruebas para demostrar la convergencia de la series. De hecho, varios criterios de convergencia de series llevan su nombre.

También dio una prueba de existencia para la solución de una ecuación diferencial y para un sistema de estas ecuaciones.

Entre otras de sus aportaciones a la matemática, tenemos:

l  Fue el creador de la teoría de funciones de variable compleja.

l  Cauchy desarrolló la teoría de límites y continuidad. De hecho los conceptos de función, límite y continuidad actuales se deben a él.

l   Demostró que hay funciones continuas sin tangentes (sin derivadas).

l  Definió los criterios de convergencia y divergencia de las series.

l  El nombre de Cauchy aparece ligado en la teoría de función complejas, a series, a ecuaciones, a la solución de ecuaciones en diferenciales parciales.

l   Realizó avances en teoría de números y de errores.

l   Probó que los ángulos de un poliedro convexo estaban determinados por sus lados.

Cauchy a los 68 años, muere el 23 de mayo de 1857 en Sceaux, solo, abandonado por su familia y amigos. En su lecho de muerte se arrepentería de lo que él consideraba como su único error en la vida, no haber dedicado más tiempo a la matemática. En su última semanas antes de morir, exclamó: “No me imagino una vida más plena que una vida dedicada a la matemática.”

Anécdotas. El contraejemplo de Cauchy: Una vez le enviaron a Cauchy un artículo que pretendía demostrar que x³ + y³ + z³ = t³ no no tenía soluciones enteras. Cauchy devolvió el manuscrito con una simple nota en la que se podía leer: 3³ + 4³ + 5³ = 6³.


Video de ejemplo de Criterio de Cauchy para Sucesiones y Series.

Referencias: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cauchy.htm

http://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/4364/Augustin%20Louis%20Cauchy
http://www.ugr.es/~eaznar/fotos_cauchy.htm
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/anecdotario.htm
http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/historia/biograf%C3%ADas/Augustin%20Louis%20Cauchy.htm
http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte5/Cap17/Parte03_17.htm
http://www.youtube.com/results?search_query=video+de+cauchy&oq=video+de+cauchy&gs_l=youtube.3...11482.23166.0.24552.21.20.1.0.0.0.1234.4235.1j5j3j2j0j1j0j1.13.0...0.0...1ac.1.11.youtube.B5uYPI7Otr4